В. А. Антонюк Язык Julia как инструмент исследователя Москва Физический факультет МГУ им. М. В. Ломоносова Антонюк Валерий Алексеевич Язык Julia как инструмент исследователя. – М. : Физический факультет МГУ им. М. В. Ломоносова, 2019. – 48 с. Пособие знакомит читателей со сравнительно новым языком программирования Julia (позиционируемым как язык для научного программирования), с его особенностями и возможностями. Спроектированный так, чтобы совместить удобство и простоту создания прототипа программы с последующим эффективным исполнением получаемого кода в рамках одного языка, он должен помочь всем, кто вынужден при написании программ сначала экспериментировать в рамках MATLAB или Python, а затем для реальной работы переписывать всю программу (или её наиболее критичные части) для компилируемого языка (C, C++ и т. п.), — тем более, что синтаксис его будет близок всем, кто имеет опыт работы с MATLAB или Python. На простых примерах иллюстрируются основные идеи в реализации языка Julia (система типов, функциональная диспетчеризация, параллелизм исполнения и др.), так, чтобы каждый читатель мог сам для себя решить, оправданы ли усилия по освоению нового языка и насколько весомы те преимущества, которые можно будет получить в своей практической деятельности. Рассчитано на студентов старших курсов физического факультета, но может быть полезным аспирантам и сотрудникам, желающим познакомиться с современными тенденциями развития языков программирования. Автор — сотрудник кафедры математического моделирования и информатики физического факультета МГУ. Рецензент: профессор кафедры математики физфака МГУ Боголюбов А.Н. . Объем 3,0 п.л. экз. Заказ № 190. Физический факультет им. М. В. Ломоносова, 119991 Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д. 1, . Отпечатано в отделе оперативной печати физического факультета МГУ. Физический факультет МГУ им. М. В. Ломоносова, 2019 В. А. Антонюк, 2019 Оглавление Язык Julia — общие сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1. Дистрибутивные файлы Julia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Установка дистрибутива Julia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Первые эксперименты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . REPL и работа в «Блокноте» (Jupyter notebook ) . . . . . . . . . . . . . . . . Величины в языке Julia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1. Типы числовых величин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Целочисленные величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Вещественные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Комплексные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. Рациональные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6. BigInt, BigFloat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7. Иррациональные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Функции в языке Julia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1. «Традиционное» определение функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Специальное (однострочное) присваивание . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Безымянные (анонимные) функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4. Передача параметров функциям . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5. Операции, применимые к функциям . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6. Макроопределения (макросы) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7. Некоторые часто используемые макросы . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8. Несколько практических примеров функций . . . . . . . . . . . . . . . 4.9. Пример: свойства последовательностей Коллатца . . . . . . . . . . . . 4.10. Пример: реализация классического метода Рунге–Кутты . . . . . . . 4.11. Пример: оценка значения числа 𝜋 методом Монте-Карло . . . . . . . 4.12. Пример: умножение матриц в идемпотентных алгебрах . . . . . . . . 4.13. Пример: вычисление меры близости между ранжированиями . . . . . Пакеты в языке Julia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1. Модули и пакеты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. «Экосистема» Julia: pkg.julialang.org и juliaobserver.com . . . . 5.3. Куда устанавливаются пакеты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4. Пакеты визуализации данных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5. Прочие пакеты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6. Пример: APL.jl — интерпретатор строк APL-кода . . . . . . . . . . . . О плохом и хорошем (вместо заключения) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ПРИЛОЖЕНИЕ. Поиск вариантов формул Штрассена Предисловие С точки зрения пользователя любой новый язык программирования — это в первую очередь необходимость по-новому формулировать свои мысли и пожелания. Поэтому переход будет оправдан, если уровень «входа» будет невысоким, а преимущества освоения — весомыми. Созданный не так давно язык Julia — это открытый динамический компилируемый язык, ориентированный в первую очередь на производительные вычисления в научнотехнических областях. До его появления казалось естественным, что интерактивность свойственна лишь языкам интерпретируемым (например, Python, R, MATLAB ). Однако сочетание в нём JIT -компиляции, производимой лишь тогда, когда код необходимо исполнить, с множественной диспетчеризацией (означающей, что функции вызываются динамически во время исполнения — в зависимости от типа переданных им параметров), позволило достичь практически того же эффекта: язык получился интерактивным, при этом скорость исполнения его программ сравнима со скоростью программ, написанных на языке C. В нём есть практически всё, что имеется в популярных языках настоящего времени (распространённые числовые типы вместе с величинами произвольной точности и богатый набор математических функций; современные коллекции данных: кортежи, словари и множества; интроспекция кода; встроенный менеджер пакетов; возможность взаимодействия с другими языками и библиотеками), но немало и новинок: высокоуровневые средства для параллельных и распределённых вычислений, поддержка метапрограммирования, а также возможность использования в тексте программ широкого диапазона допустимых символов, что приводит к некоторым трудностям в изложении, включая правильную синтаксическую раскраску Julia-кода и адекватное его воспроизведение в различных публикациях: статьях и книгах (это будет заметно по некоторым включённым в текст листингам). Представленная брошюра даже не претендует на то, чтобы служить вводным пособием по языку Julia: в ней охвачены далеко не все аспекты языка, а те, что затронуты, не изложены в каком-либо стройном порядке. Скорее, можно считать брошюру неким эссе, призванным немного ознакомить читателя с предметом — для того, чтобы можно было решить, необходимо ли тратить время на более внимательное его изучение. По этой причине оказались не затронутыми различные (но важные для полноценной работы с языком) темы: кортежи, словари, множества, параметрические типы и описание сложных типов, операции ввода-вывода, работа со строками, обработка исключений, создание сопрограмм, параллельная и распределённая обработка данных, взаимодействие с оболочкой операционной системы, интеграция с другими языками программирования и многое другое. Для их освоения правильнее будет обратиться к руководству пользователя. Тем не менее, отдельным базовым понятиям языка уделено особое внимание. В качестве таких понятий выбраны величины, функции и пакеты, поэтому вся структура изложения определяется ими, их свойствами и возможностями, а всё остальное, если и упоминается, то лишь для пояснения выбранных в качестве иллюстрации примеров. Автор попытался применить разные конструкции языка к тем задачам, с которыми ему доводилось сталкиваться; что при этом получилось, изложено в приводимых далее простых практических примерах. Какие-то возможности языка остались при этом не охваченными, но исключительно потому, что соответствующие задачи пока ещё не встретились. Главное же, в чём хотелось бы убедить читателя: язык Julia — это универсальный и мощный инструмент, который может помочь каждому исследователю практически в любой области научной или технической деятельности. Язык Julia — общие сведения Если рассматривать Julia просто как способ записи алгоритмов, то в первом приближении кажется, что всё в нём практически совпадает с тем, что можно написать в MATLAB... (a) Julia (b) MATLAB (c) Python # Это комментарий в Julia % Это комментарий в MATLAB # Это комментарий в Python # Многострочный комментарий Многострочный комментарий Многострочный комментарий if i <= N else # Альтернативные действия if i <= N % Условие % Действия else % Альтернативные действия if i <= N: else: # Альтернативные действия while i <= N while i <= N % Действия while i <= N: for i = 1:N for i = 1:N % Действия for i in range(N): Рис. 1: Примеры базового синтаксиса в языках Julia, MATLAB, Python. От MATLAB также «унаследованы»: индексация массивов с единицы и расположение их в памяти по столбцам, а также подавление вывода завершающей точкой с запятой. Конечно, наиболее спорные «особенности» MATLAB в языке Julia отсутствуют: символ комментария не является знаком распространённой (в том числе — и в математике) операции, круглые скобки в доступе к элементам массивов заменены на более традиционные квадратные, даже функция whos() уже «забыта» в пользу более новой varinfo(). . . Но подобное сходство не является случайным: оно свидетельствует о том, что создатели языка сознательно снизили и без того не очень высокий пороговый уровень первоначального «входа» в язык именно для пользователей MATLAB, видимо, рассчитывая на их интерес к бесплатной и более высокопроизводительной альтернативе, не обладающей пока столь же внушительным набором дополнительных пакетов. В остальном же Julia — это новый, весьма интересный и нетривиальный язык общего назначения с многообещающими свойствами и характеристиками. Как уже говорилось выше, это открытый динамический компилируемый язык. Открытость его означает, что всем доступен исходный код языка и стандартных библиотек (Julia была провозглашена проектом с открытым кодом в 2012 году, через 3 года после появления языка). Каждый пользователь имеет право модифицировать код, адаптируя его для решения собственных задач. Кроме того, язык является бесплатным, т. е., не требуется делать никаких выплат за его использование (а в случае, например, таких популярных — но закрытых — языков как MATLAB и Mathematica, это не так). Выражение «динамический язык» обозначает язык с динамической типизацией, где пользователь может писать программу, вообще не упоминая типы каких-либо величин, как это должно быть в языке со статической типизацией (например, C ). Объявление типов параметров, передаваемых функции, не является обязательным, поскольку Julia автоматически специализирует функцию по типам её параметров во время компиляции, т. е., типы параметров у функций являются своеобразным фильтром, позволяющим указать, какая конкретно функция и когда используется. Можно сказать, что традиционное объектно-ориентированное программирование (в принятой в C++ форме) использует диспетчеризацию только по одному (первому) параметру: выбор подходящего метода для вызова производится лишь на основании типа объекта, к которому он будет применён. А в Julia реализована т. н. множественная диспетчеризация: при исполнении выбирается метод или функция на основании типов всех аргументов. Кроме того, Julia — компилируемый1 язык (Python, R, MATLAB — интерпретируемые2 ). Это значит, что код Julia будет исполняться непосредственно на используемом процессоре. Всего процессорных платформ (архитектур), на которых работает Julia, пять: i686 (32-bit), x86-64 (64-bit), ARMv7 (32-bit), ARMv8 (64-bit), PowerPC (64-bit); поддержаны операционные системы Windows, macOS, Linux, FreeBSD. В случае процессоров многоядерных, вполне обычных в настоящее время, можно использовать для работы все их ядра, запуская Julia специальным образом. В языке имеется встроенная поддержка комплексных чисел, дробей и величин произвольной точности; реализованы популярные современные типы данных: векторы, матрицы, многомерные массивы, кортежи, словари, множества, битовые массивы, битовые строки. Интересной особеностью является возможность использования многих символов Unicode в тексте программ: как в именах переменных и функций, так и в знаках операций; большинство этих символов можно ввести с помощью привычных LATEX-последовательностей, завершаемых нажатием клавиши Tab . 1.1. Дистрибутивные файлы Julia Дистрибутивные файлы для системы Windows — это исполняемые файлы (инсталляторы), поименованные по схеме julia-<Версия>-<Система>.exe, где <Версия> означает версию языка Julia (скажем, 1.3.0 ), а <Система> — win32 или win64. Для систем Linux используются обычные архивы с именами вида julia-<Версия>-<Система>-<Архитектура>.tar.gz, где <Система> — это linux, а <Архитектура> — aarch64, armv7l или x86_64. Все эти файлы находятся по адресу: На верхнем уровне любой файл архива содержит каталог с именем julia-<Версия>; там расположены: один файл с лицензией (LICENSE.md) и шесть каталогов (bin, etc, include, lib, libexec, share). В первом каталоге находится главный исполняемый файл языка (julia), во втором (в подкаталоге julia) — файл startup.jl, который может содержать команды, исполняемые при запуске Julia на компьютере3 , в третьем (в его подкаталоге julia) находятся заголовочные файлы для C -компилятора, в четвёртом каталоге — файл динамической библиотеки libjulia.so со своими ярлыками и дополнительные библиотеки в подкаталоге julia, в пятом — исполняемый файл «распаковщика» 7z, в шестом (в различных подкаталогах) собраны: документация, иконки (реально — одна в виде .svgфайла), ярлык для рабочего стола, описание приложения в виде файла julia.appdata.xml и тексты базовых библиотек (base+stdlib) с тестами. 1.2. Установка дистрибутива Julia Для системы Windows пользователю следует использовать нужный файл инсталлятора, в различных вариантах Linux достаточно будет распаковать архив в нужное место. Поскольку дистрибутив Julia для Linux — это просто архив каталогов, то имеется всего два варианта установки Julia в Linux и оба они должны будут осуществляться пользователем вручную. Первый — это распаковать архив в «пространстве» конкретного пользователя, второй — сделать это в каком-то месте, доступном всем пользователям4 . «Общедоступное» место тоже можно выбрать двумя способами: либо никак не связывать его с текущими путями поиска программ (и тогда понадобится ярлык исполняемого файла в пути их поиска), либо «вклеить» структуру каталогов дистрибутива Julia (каталоги bin, Компиляция производится во время исполнения (т. н. JIT -компиляция), при этом для оптимизации создаваемого кода используется информация о типах величин, которые к этому моменту уже известны. Более точно следовало бы сказать так: язык Python интерпретирует откомпилированный байт-код. Для команд, исполняемых на уровне пользователя, предусмотрен файл ˜/.julia/config/startup.jl. Помимо каталога размещения дистрибутивного архива Julia для работы также создаётся (скрытый) каталог с именем .julia в «домашнем» каталоге пользователя; там будут располагаться: окружения, установленные пакеты (исходный код и откомпилированный вариант), сведения обо всех зарегистрированных пакетах (с разбивкой по первым буквам и названиям), журнальные файлы (чуть подробнее — см. ). include, share и др.) в каталог /usr/local5 (при этом ярлык для запуска программы не понадобится, поскольку /usr/local/bin просматривается автоматически при поиске команд пользователя). Во втором способе надо лишь «избавиться» от «лишнего» каталога (вроде julia-1.3.0 в архиве дистрибутива julia-1.3.0-linux-armv7l.tar.gz); для этого имеется специальный ключ --strip-components в программе распаковки: sudo tar -xzf <Дистрибутив>.tar.gz -C /usr/local --strip-components 1 указывающий, с какого уровня вложенности нужно распаковывать архив (в данном случае — пропустить первый вложенный каталог julia-1.3.0). Единственный недостаток такого способа — сравнительно сложная деинсталляция программы при необходимости (а это тоже придётся делать вручную), поскольку файлы дистрибутива будут перемешаны с другими файлами. Если же распаковывать дистрибутивный архив, скажем, в каталог /opt, то пропускать первый вложенный каталог архива при этом не надо (это даст возможность установить несколько различных версий Julia параллельно), но для простоты обращения к версиям понадобится создать ярлыки (здесь иллюстрируется установка конкретной версии 1.3.0 в Linux для ARM ): sudo tar -xzf julia-1.3.0-linux-armv7l.tar.gz -C /opt sudo ln -s /opt/julia-1.3.0/bin/julia /usr/local/bin/julia При этом деинсталлировать какую-либо версию можно будет простым удалением каталога с соответствующим дистрибутивом (а также какой-то части каталога .julia у пользователя). 1.3. Первые эксперименты Исполняемый файл языка Julia (julia.exe в Windows или julia — в других системах) может использоваться либо для запуска какой-либо программы, хранимой в файле с расширением .jl (тогда надо ввести в системной командной строке julia <Программа>.jl), либо для работы в интерактивном режиме (для чего исполняемый файл запускается без параметров — с командной строки или с помощью иконки). Интерактивная сессия начинается с воспроизведения в консольном окне сведений о версии языка и после вывода подсказки вида julia> (зелёного цвета) ожидается ответ пользователя. Данный режим называется REPL (сокращение от read-eval-print loop): ввод пользователя считывается, исполняется6 , а результат исполнения выводится, после чего снова появляется REPL-подсказка и опять ожидается ответ пользователя. Выйти из этого интерактивного режима можно при помощи комбинации клавиш Ctrl + D или после ввода вызова функции exit(). Режим REPL имеет четыре разных варианта, каждый со своей собственной подсказкой, причём другого цвета (чтобы их было легко различать): исполнение выражений Julia (упомянут выше и реализуется по умолчанию), справка (подсказка help?> будет жёлтого цвета и появится после ввода вопросительного знака ? в начале строки), режим системной оболочки (подсказка shell> красного цвета; надо ввести точку с запятой ; ), поиск в истории введённых команд (подсказка белого цвета после Ctrl + R ). Возврат к исполнению — нажатие клавиши BackSpace в самом начале строки (она же стирает всё введённое ранее). В режиме исполнения выражений можно что-либо вычислить, используя REPL как калькулятор, или вызвать какие-то функции, например, информационные: versioninfo() сообщает сведения о языке Julia (версия, дата выпуска) и платформе исполнения (система, процессор, библиотеки), varinfo() выводит информацию о загруженных модулях, введённых в рамках сессии величинах и занимаемой ими памяти и т. д. В справочном режиме будет выведена краткая цитата из документации в ответ на ввод символа, типа, переменной, функции или макроса — если то, что введено, известно Julia. Режим системной оболочки используется для ввода из среды Julia системных команд. Несмотря на то, что в практической деятельности предочтительнее будет использовать «Блокнот», а не режим REPL, далее в брошюре везде приводятся примеры ввода-вывода в REPL — хотя бы потому, что в таком случае не требуется ничего, кроме установленного дистрибутива Julia. Установить таким образом несколько разных версий уже не получится. В случае Julia исполнение предваряется компиляцией введённого фрагмента (т. н. JIT -компиляция). REPL и работа в «Блокноте» (Jupyter notebook ) В сессии REPL можно легко обращаться к ранее введённым командам, модифицировать их и запускать снова, однако это не идёт ни в какое сравнение с тем, что возможно в т. н. «Блокноте» (оригинальное название — Jupyter7 notebook ). Jupyter notebook — это интерактивное окружение в рамках обычного браузера. Оно сочетает в себе отображение кода, форматированного текста, изображений, видео и анимации, математических формул, графиков и иллюстраций в пределах одного документа, что позволяет эффективно сохранять результаты работы и/или распространять их. Использование Julia в рамках «Блокнота» предполагает установку пакета IJulia.jl (для этого надо выполнить команду add IJulia из интерфейса менеджера пакетов, куда можно попасть, вводя символ ] в REPL). Если пакет IJulia.jl установлен, то «Блокнот» запускается одним из двух способов: с командной строки системы — при помощи команды jupyter-notebook (иногда она может называться иначе), а непосредственно из сессии Julia REPL — импортированием модуля (using IJulia) с последующим вызовом функции notebook() (без параметра или с поименованным параметром: notebook(dir=<Каталог>), где <Каталог> — желательный текущий каталог). В результате в браузере — после обращения к запущенному локальному веб-серверу — отобразится страница с адресом localhost:8888 и дальнейшая работа будет происходить там (т. н. dashboard ). Для создания нового документа следует выбрать «кнопку» New на этой странице справа и указать его тип (в нашем случае — Julia какой-либо версии); дождавшись появления новой закладки браузера с «пустым» документом, переименовать его нажатием надписи Untitled1 в «шапке» страницы, после чего можно вводить команды (или текст) в документ (в текущий элемент ввода в зелёной рамке). Нажатие комбинации клавиш Shift + Enter «исполняет» введённый код. Название программы Jupyter образовано из наименований трёх языков: Julia, Python и R. Величины в языке Julia Хотя весьма часто в простых программах можно обойтись без упоминания каких-либо типов вообще, типы величин в языке существуют, более того, образуют весьма стройную древовидную иерархию. Каждая величина обязательно имеет какой-то тип, но связан он не с именами переменных (как это было характерно для предварительно компилируемых языков вроде C /C++), а с самими величинами, поэтому обязательного объявления типа переменная не требует: он станет известен после присваивания ей величины8 . 3.1. Типы числовых величин Ниже приведены три фрагмента из деревьев типов Julia различных версий, начиная с (абстрактного) типа Number (Число); далее перечисляются возможные в указанной версии подтипы Чисел, а для них, соответственно, их подтипы и т. д. (a) Julia (b) Julia 0.6.2 (c) Julia 1.0.0 julia> ShowTypeTree(Number) Number Complex{T<:Real} Real FloatingPoint BigFloat Float16 Float32 Float64 Integer BigInt Bool Char Signed Int128 Int16 Int32 Int64 Int8 Unsigned Uint128 Uint16 Uint32 Uint64 Uint8 MathConst{sym} Rational{T<:Integer} julia> ShowTypeTree(Number) Number Complex Real AbstractFloat BigFloat Float16 Float32 Float64 Integer BigInt Bool Signed Int128 Int16 Int32 Int64 Int8 Unsigned UInt128 UInt16 UInt32 UInt64 UInt8 Irrational Rational julia> ShowTypeTree(Number) Number Complex Real AbstractFloat BigFloat Float16 Float32 Float64 AbstractIrrational Irrational Integer Bool Signed BigInt Int128 Int16 Int32 Int64 Int8 Unsigned UInt128 UInt16 UInt32 UInt64 UInt8 Rational Рис. 2: Фрагменты иерархии типов в различных версиях Julia. Эти фрагменты получены вызовом проfunction ShowTypeTree(T, level=0) стой рекурсивной функции, названной здесь println(" " ˆ level, T) ShowTypeTree(); она выводит очередной тип for t in subtypes(T) в иерархии — с отступом9 , соответствующим ShowTypeTree(t, level+1) текущему уровню вложенности этого типа, переходя далее к перебору также всех его end подтипов на следующем уровне — снова при Рис. 3: Функция вывода иерархии типов. помощи вызова ShowTypeTree(). Определить тип какой-либо величины можно, вызывая для неё функцию typeof(), а для любого существуюшего типа всегда можно узнать, какие подтипы у него имеются Важно также отметить, что в Julia — в отличие, скажем, от языка Python, — тип величины не может измениться в результате каких-то её преобразований (т. е., например, при последовательном возведении целого в квадрат оно останется целой величиной того же типа, что и ранее; попробуйте поэкспериментировать в REPL или «Блокноте» с чередованием команд a = a*a и typeof(a), начиная с a = 2, и сравните, если есть такая возможность, с результатами аналогичных действий в Python). Операция ˆ, применяемая здесь к строке и числу, просто повторно воспроизводит строку (пробелов) заданное число раз, формируя отступ, пропорциональный количеству вложенных вызовов. (с помощью функции subtypes()), и у какого типа он сам является подтипом (используя supertype()). Какие же выводы можно сделать, рассматривая приведённые варианты иерархий? Видно, что по сравнению с ранними версиями названия типов при выводе стали проще (без фигурных скобок с пояснениями в них) и логичнее (без неоправданного поименования целых типов — вроде Uint... вместо UInt...). Исчезает как вариант целочисленного тип Char, а BigInt становится подтипом типа Signed — видимо, потому, что в представлении BigInt знак числа предусмотрен всегда. С определённого момента появляются величины иррациональные (тип Irrational) со своими интересными свойствами (см. ), но место их в иерархии «устоялось» не сразу; теперь они образуют отдельный подтип, получив свой родительский тип AbstractIrrational. Все типы данных в Julia разделены на две большие группы: конкретные типы и абстрактные типы. Первые в дереве типов являются «листьями» (так как у них нет «потомков») и объекты только этих (конкретных) типов могут быть созданы, а вторые (т. е., «ветви», обладающие «потомками») необходимы для группового обозначения набора конкретных типов. Резюмируя, можно сказать, что «встроенный» набор числовых типов — ничуть не хуже, чем у популярных в настоящее время языков для научных расчётов (Python, R и др.). Остановимся кратко на некоторых особенностях числовых типов в языке Julia. 3.2. Целочисленные величины Предельные параметры целочисленных типов Julia хорошо демонстрирует приводимый в руководстве по языку крошечный пример10 : for T in [Int8,Int16,Int32,Int64,Int128,UInt8,UInt16,UInt32,UInt64,UInt128] println("$(lpad(T,7)): [$(typemin(T)),$(typemax(T))]") В нём последовательно перебираются все существующие в языке «встроенные» целочисленные типы (кроме BigInt) и выводятся их минимальные и максимальные значения: Int8 : Int16 : Int32 : Int64 : Int128 : UInt8 : UInt16 : UInt32 : UInt64 : UInt128 : [ -128 ,127] [ -32768 ,32767] [ -2147483648 ,2147483647] [ -9223 372036 854775 808 ,9 223372 036854 775807 ] [ -170141183460469231731687303715884105728 ,170141183460469231731687303715884105727] [0 ,255] [0 ,65535] [0 ,4294967295] [0 ,18446744073709551615] [0 ,340282366920938463463374607431768211455] Знаки доллара в текстовой строке вместе с круглыми скобками — признак т. н. интерполяции: выражения в круглых скобках вычисляются и полученные значения (имена типов с нужным числом дополняющих пробелов, а также минимальные и максимальные для типов величины) подставляются в каждую выводимую строку. Как ни странно, у логической величины в Julia (являющейся, как нетрудно заметить, в иерархии типов подтипом целой и имеющей по определению логическое значение true или false) есть и числовое значение; оно может быть при необходимости получено, что позволяет применять приёмы, характерные для языка C (можно вычислять, например, выражения вроде 0+(2>1) или 0+true11 ). Какие-то варианты могут оказаться невозможными, но исключительно из-за неоднозначности: скажем, не удастся вычислить значение выражения 0.+(2>1), поскольку здесь неясно, является ли точка частью числа 0 или же она — часть обозначения покомпонентной операции сложения; добавление пробела (вот так: 0 .+(2>1) или так: 0. +(2>1)) легко разрешает ситуацию.